马丁格尔与反马丁格尔策略

押大小，押多少钱赚多少钱。例如，押1元，赢了得2元，输了就亏1元，押5元，赢了得10元，输了亏5元

输的情况下持续翻倍下注，直到赢。

（游戏开始）第一局押1元，赢了收手赚1元，游戏从头开始，输了的话第二局赌注翻倍

（第一局输）第二局押2元，赢了收手赚 2 – 1 = 1 元，游戏从头开始，输了的话第三局赌注翻倍

（第二局输）第三局押4元，赢了收手赚 4 – 2 – 1 = 1 元，游戏从头开始，输了的话第四局赌注翻倍

（第三局输）第二局押8元，赢了收手赚 8 – 4 – 2 – 1 = 1 元，游戏从头开始，输了的话第五局赌注翻倍

。。。

可以看到，这种情况下，每次只会赢1元，只要赌资足够多，就不存在亏损

假设某游戏输的概率为 p，赢了的话可得押注的k倍，赌徒初始押注 b 元，输了的话下一局押注为上一局的s倍，一直连输n局爆仓（假设赌资有限，无限的情况不符合实际），则：

连输 n 局的概率为 \( p^n \)，到第 n 局一共押了 \( \sum_{i=1}^{n}b*s^{i-1} = b(s^{n-1} + \frac{1-s^{n-1}}{1-s}) \)

n 局中至少赢一局的概率为 \( 1 – p^n \)，假设第m次赢，则可赢 \( b*k^{m-1} – \sum_{i=1}^{m-1}b*s^{i-1} = b(k^{m-1} – s^{m-2} – \frac{1-s^{m-2}}{1-s}) \) 元。

将 k = s = 2 带入上式可得这 n 局赢钱的数学期望为：

\[ (1 – p^n)b – p^n\sum_{i=1}^{n}b2^{i-1} = b(1-(2p)^n) \]

由此可知，当输钱概率为1/2时，其期望为0，一旦输钱概率大于 1/2 ，其期望就为负，而实际情况大多都大于甚至远远大于 1/2。故不要想着用这种方式能够挣钱。

赢的情况下持续翻倍下注，直到输。

（游戏开始）第一局押1元，输了收手亏1元，游戏从头开始。赢了的话赚1元，第二局赌注翻倍

（第一局赢）第二局押2元，输了收手亏1元，游戏从头开始。赢了的话赚 4 – 1 = 3 元，第三局赌注翻倍

（第二局赢）第三局押4元，输了收手亏1元，游戏从头开始。赢了的话赚 8 – 1 = 7 元，第四局赌注翻倍

（第三局赢）第二局押8元，输了收手亏1元，游戏从头开始。赢了的话赚 16 – 1 = 15 元，第五局赌注翻倍

。。。

可以看到，这种情况下，每次只会亏1元，但如果连续赢，并且适时离场，就能取得丰厚回报

假设某游戏赢的概率为 p，赌徒初始押注 b 元，一直连玩n局，则：

连赢 n 局的概率为 \( p^n \)，到第 n 局一共赚了 \( 2^n-b \) 元

中间最少输一局停止的概率为 \( 1-p^n \)，亏了b元，则赢钱的期望为：

\[ p^n(2^n-b) – (1-p^n)b = (2p)^n-b \]

由此可知，反马丁格尔策略确实有望将期望作正，且你初始赌资越小，期望越有可能为正。但很小的赌资即便赢钱的话，那也是微不足道的

其本质上就是只使用赢的钱继续赌，而不追加新的赌注

为什么有些人的一生前期风风火火，晚年却很凄凉，一个原因是我认为，他们能在微观上使用反马丁格尔策略提升自己的生活水平，但宏观上却是马丁格尔策略，这就导致其晚年稍有不慎就身败名裂。

例如某人投资，他每次投资都很谨慎，不会盲目加杠杆，即时收手也不贪，这就使得他能在逐渐积累财富，但宏观上看，由于他财富的增长，使得他每次投资的数额越来越大，这其实也是掉进了马尔丁格策略陷阱中了。当他某次投资数额很大的时候，一旦亏损，前面的积累就都瞬间归零了