马丁格尔与反马丁格尔策略

游戏规则

押大小,押多少钱赚多少钱。例如,押1元,赢了得2元,输了就亏1元,押5元,赢了得10元,输了亏5元

马丁格尔策略(Martingale)

输的情况下持续翻倍下注,直到赢。

(游戏开始)第一局押1元,赢了收手赚1元,游戏从头开始,输了的话第二局赌注翻倍

(第一局输)第二局押2元,赢了收手赚 2 – 1 = 1 元,游戏从头开始,输了的话第三局赌注翻倍

(第二局输)第三局押4元,赢了收手赚 4 – 2 – 1 = 1 元,游戏从头开始,输了的话第四局赌注翻倍

(第三局输)第二局押8元,赢了收手赚 8 – 4 – 2 – 1 = 1 元,游戏从头开始,输了的话第五局赌注翻倍

。。。

可以看到,这种情况下,每次只会赢1元,只要赌资足够多,就不存在亏损

数学期望

假设某游戏的概率为 p,赢了的话可得押注的k倍,赌徒初始押注 b 元,输了的话下一局押注为上一局的s倍,一直连输n局爆仓(假设赌资有限,无限的情况不符合实际),则:

连输 n 局的概率为 \( p^n \),到第 n 局一共押了 \( \sum_{i=1}^{n}b*s^{i-1} = b(s^{n-1} + \frac{1-s^{n-1}}{1-s}) \)

n 局中至少赢一局的概率为 \( 1 – p^n \),假设第m次赢,则可赢 \( b*k^{m-1} – \sum_{i=1}^{m-1}b*s^{i-1} = b(k^{m-1} – s^{m-2} – \frac{1-s^{m-2}}{1-s}) \) 元。

将 k = s = 2 带入上式可得这 n 局赢钱的数学期望为:

\[ (1 – p^n)b – p^n\sum_{i=1}^{n}b2^{i-1} = b(1-(2p)^n) \]

由此可知,当输钱概率为1/2时,其期望为0,一旦输钱概率大于 1/2 ,其期望就为负,而实际情况大多都大于甚至远远大于 1/2。故不要想着用这种方式能够挣钱。

反马丁格尔策略(Anti-martingale)

赢的情况下持续翻倍下注,直到输。

(游戏开始)第一局押1元,输了收手亏1元,游戏从头开始。赢了的话赚1元,第二局赌注翻倍

(第一局赢)第二局押2元,输了收手亏1元,游戏从头开始。赢了的话赚 4 – 1 = 3 元,第三局赌注翻倍

(第二局赢)第三局押4元,输了收手亏1元,游戏从头开始。赢了的话赚 8 – 1 = 7 元,第四局赌注翻倍

(第三局赢)第二局押8元,输了收手亏1元,游戏从头开始。赢了的话赚 16 – 1 = 15 元,第五局赌注翻倍

。。。

可以看到,这种情况下,每次只会亏1元,但如果连续赢,并且适时离场,就能取得丰厚回报

数学期望

假设某游戏的概率为 p,赌徒初始押注 b 元,一直连玩n局,则:

连赢 n 局的概率为 \( p^n \),到第 n 局一共赚了 \( 2^n-b \) 元

中间最少输一局停止的概率为 \( 1-p^n \),亏了b元,则赢钱的期望为:

\[ p^n(2^n-b) – (1-p^n)b = (2p)^n-b \]

由此可知,反马丁格尔策略确实有望将期望作正,且你初始赌资越小,期望越有可能为正。但很小的赌资即便赢钱的话,那也是微不足道的

其本质上就是只使用赢的钱继续赌,而不追加新的赌注

到底能否赚钱

为什么有些人的一生前期风风火火,晚年却很凄凉,一个原因是我认为,他们能在微观上使用反马丁格尔策略提升自己的生活水平,但宏观上却是马丁格尔策略,这就导致其晚年稍有不慎就身败名裂。

例如某人投资,他每次投资都很谨慎,不会盲目加杠杆,即时收手也不贪,这就使得他能在逐渐积累财富,但宏观上看,由于他财富的增长,使得他每次投资的数额越来越大,这其实也是掉进了马尔丁格策略陷阱中了。当他某次投资数额很大的时候,一旦亏损,前面的积累就都瞬间归零了

参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Martingale_(betting_system)

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